طیارے کی مساوات: کس طرح بنانے کے لئے؟ م طیارہ مساوات

ہوائی جہاز خلائی مختلف طریقوں (ایک نقطہ اور ویکٹر، ویکٹر اور دو پوائنٹس، تین پوائنٹس، وغیرہ) میں بیان کیا جا سکتا ہے. یہ اس بات کو ذہن میں کے ساتھ، ہوائی جہاز مساوات مختلف اقسام ہیں کر سکتے ہیں. اس کے علاوہ کچھ شرائط کے تحت طیارے ہو سکتا متوازی، عمودی، قطع، وغیرہ اس پر اور اس مضمون میں بات کریں گے. ہم ہوائی جہاز اور نہ صرف کے عمومی مساوات بنانا سیکھیں گے.

مساوات کے عام فارم

فرض کریں R ہے جس میں ایک مستطیل محدد نظام XYZ جگہ _3، ہے. ہم ویکٹر α کے آخر کے ذریعے نقطہ اغاز او سے جاری کی جائے گی جس میں ایک ویکٹر α، یہ کھڑا ہے جس طیارے P مبذول کی وضاحت.

ایک صوابدیدی نقطہ Q = (X، Y، Z) میں P مطلع کرنا. نقطہ س خط پر دستخط P کے رداس ویکٹر. ویکٹر کی لمبائی α P = IαI اور Ʋ = (cosα، cosβ، cosγ) کے برابر ہے.

ویکٹر α طور سمت میں ہدایت کی ہے جس میں اس یونٹ ویکٹر. α، β اور γ - ویکٹر اور مثبت سمتوں کے درمیان قائم کیا جاتا ہے کہ زاویہ Ʋ خلا محور X، Y، Z بالترتیب. ویکٹر QεP Ʋ پر ایک نقطہ کی پروجیکشن پی (P، Ʋ) = P (r≥0) کے برابر ہے جس کی وجہ سے مسلسل جاری ہے.

مندرجہ بالا مساوات جب P = 0 معنی خیز ہے. اس کی سمت، جس کا مطلب ہے، اگرچہ ویکٹر Ʋ تعین کیا ہے کہ اس معاملے میں صرف این ہوائی جہاز، نقطہ O (α = 0) اصل ہے جس میں، اور یونٹ ویکٹر Ʋ، نقطہ اے سے رہا پار کریں گے، P پر کھڑا ہو جائے گا نشانی تک. پچھلا مساوات ہمارے طیارے P ہے، ویکٹر شکل میں اظہار کیا. لیکن اس کے نقاط کے پیش نظر ہے:

P سے زیادہ یا 0. کو ہم عام شکل میں طیارہ مساوات پایا ہے برابر ہے.

جنرل مساوات

نقاط میں مساوات ہے کہ صفر کے برابر نہیں ہے کسی بھی تعداد سے ضرب ہے، تو ہم بہت طیارے کی وضاحت کرتا ہے کہ اس کے لیے مساوات کے برابر حاصل کرتے ہیں. یہ مندرجہ ذیل فارم ملے گا:

یہاں، A، B، C - صفر سے مختلف بیک وقت کی تعداد ہے. یہ مساوات طیارے کے عام فارم کے مساوات کہا جاتا ہے.

طیاروں کی مساوات. خصوصی مقدمات

مساوات عام طور پر اضافی شرائط کے ساتھ نظر ثانی کی جا سکتا ہے. ان میں سے کچھ پر غور کریں.

سمجھ لو کہ گتانک A 0. ہے یہ پتہ چلتا ہے کہ پہلے سے مقرر محور بیل کو طیارے کے متوازی. اس صورت میں، مساوات کی شکل میں تبدیلی: وو + CZ + D = 0.

اسی طرح، مساوات کی شکل اور مندرجہ ذیل شرائط کے ساتھ مختلف گی:

• سب سے پہلے، اگر B = 0، محور سے Oy کرنے کے parallelism اس بات کی نشاندہی کرے گا، جو ایکس + CZ + D = 0 پر مساوات تبدیلیاں،.
• دوم، اگر C = 0، مساوات ایکس + سے + D = 0 میں تبدیل کر دیا جاتا ہے، جو کہ پہلے سے مقرر محور اوز کے متوازی بارے میں کیا کہنا ہے.
• تیسری، تو D = 0، مساوات ایکس + سے + CZ = 0، ہوائی جہاز O (نکالنے) قطع کرتا مطلب ہو گا جس میں کے طور پر دکھایا جائے گا.
• چوتھا، اگر A = B = 0، جنریٹر Oxy متوازیت ثابت ہوگا جس CZ + D = 0 پر مساوات تبدیلیاں،.
• پانچویں، تو B = C = 0، مساوات ایکس + D = 0، جس طیارے Oyz کے متوازی ہے کہ اس کا مطلب بن جاتا ہے.
• چھٹا، A = C = 0، مساوات فارم وو + D = 0، لیتا ہے تو یعنی، متوازیت Oxz کو رپورٹ کریں گے.

طبقات میں مساوات کے فارم

صورت میں جہاں اعداد A، B، C، صفر سے D مختلف، مساوات کی شکل (0) مندرجہ ذیل کے طور پر ہو سکتا ہے:

X / A + Y / B + Z / C = 1،

جس میں ایک = -D / A، B = -D / B، C = -D / C.

ہم ٹکڑوں میں طیارے کے نتیجہ میں مساوات کے طور پر حاصل کرتے ہیں. (0، B، 0)، اور آانس - - (0،0، ے) یہ اس طیارے نقاط (A، 0،0)، سے Oy ساتھ نقطہ پر ایکس محور کاٹنا گا کہ غور کرنا چاہیے.

کو دیکھتے ہوئے مساوات X / A + Y / B + Z / C = 1، یہ ایک پہلے سے مقرر محدد سسٹم پر جگہ کا تعین کرنے کے طیارے رشتہ دار کو دیکھ کرنے کے لئے مشکل نہیں ہے.

عام ویکٹر کے نقاط

طیارے P کرنے کے لئے عام ویکٹر ن طیارے کے عمومی مساوات، یعنی ن (A، B، C) کے جزو عام ہیں کہ نقاط ہے.

معمول ن کے نقاط کا تعین کرنے کے لئے، اس کے ہوائی جہاز کو دیا جنرل مساوات جاننا کافی ہے.

ہے جس کے حصے میں مساوات کا استعمال کرتے ہوئے فارم X / A + Y / B + Z / C = 1، جنرل مساوات کے ساتھ کے طور پر، ہم ایک دی طیارے کے عام ویکٹر میں سے کسی کے نقاط لکھ سکتے ہیں: (1 / A + 1 / B + 1 / ج).

اس کی مدد کر کے عام ویکٹر مختلف مسائل کو حل کرنے کے لئے جو غور کرنا چاہئے. سب سے زیادہ عام مسائل، طیاروں یا طیاروں اور براہ راست لائنوں کے درمیان زاویہ کے درمیان زاویہ تلاش کرنے کا کام ثبوت کھڑا یا متوازی طیاروں میں پر مشتمل رہے ہیں.

نقطہ عام ویکٹر کے طیارے مساوات اور نقاط کے مطابق کی قسم

A nonzero ویکٹر (ن)، ایک دیئے گئے طیارے پر کھڑا ہے، ایک پہلے سے مقرر طیارے کو بلایا عام (عام).

محدد خلا میں (ایک آئتاکار محدد نظام) کہ Oxyz مقرر مان لیں:

• نقاط کے ساتھ Mₒ پوائنٹ (hₒ، uₒ، zₒ)؛
• صفر سمتیہ ن = A * میں B * J + C * K +.

تم معمول ن پر کھڑا Mₒ نقطہ کے ذریعے گزر جاتا ہے کہ طیارے کی مساوات کو بنانے کے لئے کی ضرورت ہے.

خلا میں ہم کسی بھی صوابدیدی نقطہ منتخب کریں اور M (X، Y، Z) مطلع کرنا. ہر نقطہ M (X، Y، Z) کا رداس ویکٹر دو ہو جائے گا R = X * I + Y * J + Z * K، اور ایک نقطہ Mₒ کا رداس ویکٹر (uₒ، hₒ، zₒ) - rₒ = hₒ * میں uₒ + * J + zₒ * K. ویکٹر MₒM ویکٹر ن پر کھڑا ہو جائے تو اس نقطہ M، ایک دیئے گئے طیارے سے تعلق رکھتے ہیں گے. ہم عددیہ کی مصنوعات کا استعمال کرتے ہوئے orthogonality کی شرط لکھیں:

[MₒM، ن] = 0.

MₒM = R-rₒ بعد سے، ہوائی جہاز کے ویکٹر مساوات اس طرح نظر آئے گا:

[R - rₒ، ن] = 0.

یہ مساوات بھی ایک اور شکل میں ہو سکتا. اس مقصد کے لئے عددیہ کی مصنوعات کی خصوصیات، اور مساوات کے بائیں جانب میں تبدیل. [R - rₒ، ن] = [R، ن] - [rₒ، ن]. [rₒ، ن] کے طور پر ظاہر کیا ہے، تو ہم مندرجہ ذیل مساوات حاصل: [R، N] - ایک = 0 یا دی پوائنٹس طیارے تعلق رکھنے والے کا رداس-ویکٹر کی عام ویکٹر پر اس تخمینے کی ثابت قدمی کا اظہار ہے جس [R، N] = ے.

اب آپ محدد قسم ریکارڈنگ طیارے ہمارے ویکٹر مساوات حاصل کر سکتے ہیں [R - rₒ، ن] = 0. چونکہ R-rₒ = (X hₒ) * I + (Y-uₒ) * J + (Z-zₒ) * K، اور ن = A * میں B * J + C * K +، ہم ہیں:

یہ ہم مساوات معمول ن پر کھڑا پوائنٹ سے گزرنے والے طیارے قائم کیا جاتا ہے کہ باہر کر دیتا ہے:

A * (X hₒ) + B * (Y uₒ) S * (Z-zₒ) = 0.

طیارے مساوات اور ویکٹر طیارے collinear کے دو پوائنٹس کے نقاط کے مطابق کی قسم

ہم دو من مانی پوائنٹس M '(X'، Y 'Z') اور M "(X"، Y "، Z")، اسی طرح ویکٹر (ایک '، ایک "، ایک ‴) کی وضاحت.

اب ہم موجودہ نقطہ M 'اور M "کے ذریعے گزر جاتا ہے جس میں مساوات پہلے سے مقرر ہوائی جہاز، اور ایک دیئے گئے ویکٹر کرنے کے نقاط M (X، Y، Z) متوازی ساتھ ہر نقطہ لکھ سکتے ہیں.

لہذا M'M سمتیہ X = {ایکس '، Y-Y'؛ ZZ '} اور M "M = {X" -x' Y 'Y'؛ Z "-Z '} ویکٹر ساتھ coplanar ہونا چاہئے ایک = (ایک '، ایک "، ایک ‴)، جس کا مطلب ہے کہ (M'M M" M، الف) = 0.

لہذا خلا میں ایک جہاز کے ہمارے مساوات اس طرح نظر آئے گا:

طیارے مساوات کی قسم، تین پوائنٹس کو پار

ایک ہی لائن سے تعلق نہیں ہے جس میں (X '، Y' Z ')، (X'، Y 'Z')، (X ‴ ہے ‴، Z ‴): چلو ہم تین پوائنٹس ہیں کہنے دو. اس کے بیان کردہ تین پوائنٹس سے گزر رہا طیارے کی مساوات لکھنے کے لئے ضروری ہے. ستادوستی نظریہ، طیارے کی اس قسم موجود ہے کہ اس کی دلیل ہے کہ یہ صرف ایک اور صرف ایک ہے. اس طیارے کے نقطہ پر قطع چونکہ (X '، Y'، Z ')، اس مساوات شکل ہو جائے گا:

یہاں، A، B، اور C ایک ہی وقت میں صفر سے مختلف ہیں. اس کے علاوہ دی طیارے سے دو زیادہ پوائنٹس قطع (X "، Y"، Z ") اور (X ‴، Y ‴، Z ‴). اس سلسلہ میں شرائط میں سے اس قسم کے باہر کیا جانا چاہئے:

اب ہم ایک یکساں نظام تشکیل دے سکتے مساوات (لکیری) کے unknowns کے U، V، W کے ساتھ:

ہمارے معاملے X میں، یا YZ مساوات (1) مطمئن جس صوابدیدی نقطہ کھڑا ہے. اور (1) مساوات مساوات (2) اور (3) مندرجہ بالا اعداد و شمار میں اس بات کا اشارہ مساوات کے نظام کا ایک ایسا نظام پر غور، ویکٹر مطمئن N (A، B، C) nontrivial نجی ہے. نظام کی معین صفر ہے کیونکہ یہ ہے.

مساوات (1) یہ کہ ہمارے پاس ہے، اس طیارے کی مساوات ہے. 3 نقطہ وہ واقعی جاتا ہے، اور یہ چیک کرنے کے لئے آسان ہے. ایسا کرنے کے لئے، ہم نے پہلی صف میں عناصر کی طرف عنصر کو بڑھانے کے. موجودہ خصوصیات کے عنصر کی (X '، Y' Z ')، (X "، Y"، Z ")، (X ‴، Y ‴، Z ‴) ہماری طیارے بیک وقت تین اصلا پہلے سے مقرر نقطہ پر قطع کہ مندرجہ ذیل ہے. تو ہم نے ہم سب کے سامنے میں کام کرنے کا فیصلہ کیا.

جہازوں کے درمیان Dihedral زاویہ

Dihedral زاویہ دو نصف طیاروں نے ایک براہ راست لائن سے emanate کہ کی طرف سے قائم ایک مقامی ہندسی شکل ہے. دوسرے لفظوں میں، جس میں نصف طیاروں تک محدود ہے خلا کا حصہ.

ہم مندرجہ ذیل مساوات کے ساتھ دو طیارے ہے فرض کریں:

ہم جانتے ہیں کہ ویکٹر N = (A، B، C) اور N¹ = (A¹، H¹، S¹) پہلے سے مقرر طیاروں کے مطابق کھڑا ہے. اس سلسلے میں، ان طیاروں کے درمیان واقع ہے جو سمتیہ ن اور N¹ برابر زاویہ (dihedral)، کے درمیان φ زاویہ. عددیہ مصنوعات کی طرف سے دیا جاتا ہے:

NN¹ = | N || N¹ | کیونکہ φ،

خاص طور پر کیونکہ

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

یہ کہ 0≤φ≤π غور کرنے کے لئے کافی ہے.

قطع کرنے والے دراصل دو طیاروں، فارم دو زاویہ (dihedral): φ ₁ اور φ _2. ان کی رقم پائی کو (φ ₁ + φ ₂ = π) برابر ہے. ان کے جیب التمام کا تعلق ہے، ان کے مطلق اقدار برابر ہیں، لیکن وہ مختلف نشانیاں ہیں، یہ ہے کہ، کیونکہ φ ₁ = -cos φ _2. مساوات میں (0) A، B اور -A، بی سی اور -C بالترتیب مساوات کی طرف سے تبدیل کیا جاتا ہے تو، ہم حاصل، ایک ہی جہاز میں صرف زاویہ مساوات کیونکہ φ میں φ کا تعین کرے گا، = NN ¹ / | ن || N ¹ | اس π-φ کی طرف سے تبدیل کیا جائے گا.

لمبوت طیارے کی مساوات

ہوائی جہاز کھڑا کہا جاتا ہے، جس کے درمیان زاویہ 90 ڈگری ہے. مواد اوپر پیش کرتے ہوئے، ہم دوسرے پر کھڑا ایک جہاز کی مساوات حاصل کر سکتے ہیں. ہم دو طیاروں ہے فرض کریں: ایکس + سے + CZ + D = 0، اور + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. ہم کہہ سکتے ہیں کہ وہ الزاویہ ہیں کہ اگر کیونکہ = 0. یہ کہ NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0 کا مطلب ہے.

ایک متوازی طیارے کی مساوات

یہ دو متوازی طیاروں عام میں کوئی پوائنٹس پر مشتمل ہے جس میں کہا جاتا ہے.

حالت متوازی طیاروں کی (ان مساوات پچھلے پیراگراف میں کے طور پر ایک ہی ہیں) ہے کہ ویکٹر ن اور N¹ ان سے کھڑا ہو، جس collinear. اس کا مطلب مندرجہ ذیل شرائط کے تناسب سے ملاقات کر رہے ہیں کہ:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

متناسب شرائط توسیع کر رہے ہیں تو - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹،

اسی کے اعداد و شمار کے طیارے طرف اشارہ کرتا. اس کا مطلب ہے کی طرف سے + CZ + D = 0 اور + A¹h V¹u S¹z کہ مساوات ایکس + + + D¹ = 0 سے ایک طیارے کی وضاحت.

ہوائی جہاز کی طرف اشارہ سے فاصلہ

ہم جس (0) کی طرف سے دیا جاتا ہے ایک طیارہ پی، ہے مان لیں. اس سے نقاط کے ساتھ نقطہ سے دوری کو تلاش کرنے کے لئے ضروری ہے (hₒ، uₒ، zₒ) = Qₒ. ، آپ اسے بنانے کے لئے ہوائی جہاز II عام ظہور میں مساوات لانے کی ضرورت ہے:

(Ρ، وی) P (r≥0) =.

اس صورت میں، ρ (X، Y، Z) این پی پر واقع ہمارے نقطہ Q، کے رداس ویکٹر ہے - این زیرو پوائنٹ سے جاری کیا گیا تھا جس میں کھڑا، کی لمبائی ہے، V - جو ایک سمت میں کا اہتمام کیا جاتا یونٹ ویکٹر، ہے.

ایک نقطہ Q = (X، Y، Z) کے فرق ρ-ρº رداس ویکٹر، (ن) سے تعلق رکھنے والے اور (ق) ₀ = اس طرح ایک ویکٹر، پر جس کی پروجیکشن کی مطلق قدر (hₒ، uₒ، zₒ) ہے ایک مقررہ نقطہ کے رداس ویکٹر وی برابر س سے تلاش کرنے کے لئے ضروری ہے جس کے فاصلے D، = ₀ (hₒ، uₒ، zₒ) P کرنے کے لئے:

D = | (ρ-ρ ^0، V) | ہیں لیکن

(ρ-ρ ^0، وی) = (ρ، وی ) - (ρ ^0، وی) = P (ρ ^0، V).

تو یہ پتہ چلتا ہے

D = | (ρ ^0، V) P |.

اب یہ سوال طیارے P ₀ سے دوری ڈی حساب کرنے کے لئے ہے کہ واضح ہے، یہ عام قول طیارہ مساوات استعمال کرنے کے لئے ضروری ہے، P کے بائیں شفٹ، اور X، Y کی آخری جگہ، Z متبادل (hₒ، uₒ، zₒ).

اس طرح، ہم ضروری ہے کہ ڈی نتیجے میں اظہار رائے کی مطلق قدر کو تلاش کریں.

زبان کے پیرامیٹرز کا استعمال کرتے ہوئے، ہم واضح ہو جاؤ:

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

مخصوص نقطہ س ₀ ویکٹر کے درمیان پھر، اصل کے طور پر طیارے P کے دوسری طرف ہے تو ρ-ρ ⁰ اور وی ہے ، ایک بے نوک کا زاویہ اس طرح:

D = - (ρ-ρ ^0، وی) = (ρ ^0، V) -p> 0.

نقطہ س ₀ یو کے اسی طرف واقع نژاد کے ساتھ مل کر میں، شدید زاویہ سے پیدا ہوتا ہے جب صورت میں، یہ ہے کہ:

D = (ρ-ρ ^0، V) P = - (ρ ^0، وی)> 0.

نتیجہ یہ ہے کہ سابق کیس (ρ ^0، وی)> P، دوسری میں (ρ ^0، V)

اور اس کے مماس طیارہ مساوات

tangency Mº کی نوک پر سطح کے طیارے کے بارے میں - سطح پر اس نقطہ کے ذریعے تیار کی وکر کے لئے تمام ممکنہ مماس پر مشتمل ایک طیارے.

مساوات F (X، Y، Z) = 0 مماس طیارے مماس نقطہ Mº کی مساوات میں (uº، hº، zº) ہو جائے گا کے اس کی سطح کے فارم کے ساتھ:

ایف _ایکس (hº، uº، zº) (hº X) + F _X (hº، uº، zº) (uº Y) + F _X (hº، uº، zº) (Z-zº) = 0.

سطح کی واضح طور پر Z = F (X، Y) مقرر کیا گیا ہے، تو پھر مماس طیارہ مساوات کی طرف سے بیان کیا جاتا ہے:

Z-zº = F (hº، uº) (hº X) + F (hº، uº) (Y uº).

دو طیاروں کے تعلق

میں تین جہتی خلا میں ایک محدد نظام (آئتاکار) Oxyz، دیا کو دو طیاروں پی وورلیپ اور موافق نہیں ہے کہ 'اور P' ہے. ایک آئتاکار محدد نظام جنرل مساوات کی طرف سے وضاحت کی ہے، جو کسی بھی ہوائی جہاز، کے بعد سے، ہم فرض ہے کہ ن + B X '+ Y' "A = 0 اور اور ن مساوات A'x + V'u S'z + + D کی طرف سے تعریف کر رہے ہیں '." کے ساتھ "Z + D" = 0. اس صورت میں ہم طیارے P 'اور عام N "(A"، B "، C") طیارے P کی' کے عام این '(A' B '، C') ہے. ہمارے جہاز متوازی اور نہیں موافق نہیں ہیں کے طور پر، اس کے بعد ان ویکٹر collinear نہیں ہیں. این '≠ ن "↔ (A' B '، C') ≠ (λ * اور"، λ * میں "، λ * سی")، λεR: ریاضی کی زبان کا استعمال کرتے ہوئے، ہم اس شرط کے طور پر لکھا جا سکتا ہے. دو چوراہا P پر واقع ہے جس میں براہ راست لائن "∩ P اور P، اس کیس میں ایک = P میں، خط ایک کی طرف سے ظاہر کیا جائے گا ''.

اور - ایک لکیر پوائنٹس (عام) طیاروں P 'اور P "کی ایک بہسنکھیا پر مشتمل ہے. یہ لائن ایک سے تعلق رکھنے والے کسی بھی موڑ کے نقاط، بیک وقت مساوات A'x + V'u S'z + + D '= 0 اور ایک "X + B' + C Y" Z + D "= 0 کو مطمئن کرنا ضروری ہے کا مطلب ہے کہ. اس کا مطلب یہ ہے کہ نقطہ کے نقاط کو درج ذیل مساوات کی ایک خاص حل ہو جائے گا:

نتیجہ مساوات کے اس نظام کا حل (مجموعی) لائن چوراہا P 'اور P "کے نقطہ کے طور پر کام کرے گا جس پر پوائنٹس میں سے ہر ایک کے نقاط کا تعین، اور ایک محدد نظام Oxyz (آئتاکار) خلا میں ایک لائن کا تعین کرے گا ہے.