Cramer کی حکمرانی اور اس کی درخواست

Cramer کی حکمرانی - حل کرنے کے لئے عین مطابق طریقوں میں سے ایک ہے لکیری الجبری مساوات (دلدل) کے نظام. نظام کو میٹرکس کے determinants کے استعمال کی وجہ سے اس کی درستگی، اسی طرح قضیہ کے ثبوت میں عائد پابندیوں میں سے کچھ کے طور پر.

coefficients کے تعلق کے ساتھ لکیری الجبری مساوات کے نظام کے لئے، مثال کے طور پر R کی ایک کثرتیت - unknowns کے X1 کے حقیقی اعداد، X2، ...، XN اظہار کا ایک مجموعہ ہے

ai2 X1 + ai2 X2 + ... عین XN = دو میں = 1، 2، ...، ایم، (1)

جہاں aij، دو - اصل تعداد. ان اظہارات میں سے ہر ایک کہا جاتا ہے ، ایک لکیری مساوات، unknowns کے جزو عام، دو - - مساوات کی آزاد coefficients کے aij.

کی (1) حل N جہتی سمتیہ کہا جاتا ° = (X1 °، X2 °، ...، XN °)، unknowns کے X1 کے نظام میں جس متبادل میں، X2، ...، XN، نظام میں لائنوں میں سے ہر ایک سے اچھا مساوات بن جاتی ہے X .

نظام یہ خالی سیٹ کے حل کے سیٹ کے ساتھ موافق ہے، تو یہ کم از کم ایک حل ہے تو مسلسل کہا جاتا ہے، اور متضاد ہے.

یہ یاد کرنا ضروری Cramer کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے لکیری مساوات کے نظام کو حل تلاش کرنے کے لئے، میٹرکس کے نظام بنیادی طور پر نظام میں unknowns کے اور مساوات کی ایک ہی تعداد جس کا مطلب ہے، مربع ہونا پڑے گا.

لہذا، Cramer کے طریقہ کار کو استعمال کرنے کے لئے، آپ کو کم از کم پتہ ہونا چاہئے کیا میٹرکس ہے لکیری الجبری مساوات کے نظام، اور یہ جاری کیا جاتا ہے. اور دوسری بات، میٹرکس اور حساب کی اس کی اپنی مہارت کا عنصر کہا جاتا ہے سمجھنے کے لئے.

ہمیں یہ فرض ہے کہ اس علم کا آپ مالک دو. کمال! اس کے بعد آپ کو صرف کریمر کے طریقہ کار کا تعین کرنے کے فارمولوں کو حفظ کرنے کی ہے. حفظ مندرجہ ذیل سنکیتن استعمال کو آسان بنانے کے کرنے کے لئے:

• DET - نظام کی میٹرکس کے اہم عنصر؛

• سے deti - ایک کالم ویکٹر جن عناصر لکیری الجبری مساوات کے دائیں پہلو ہیں کو میٹرکس کی میں ویں کالم کی جگہ کی طرف سے نظام کی بنیادی میٹرکس سے حاصل میٹرکس کا عنصر ہے؛

• N - نظام میں unknowns کے اور مساوات کی تعداد.

پھر Cramer کی حکمرانی حساب میں ویں جزو XI (I = 1، .. ن) N جہتی سمتیہ X طور پر لکھا جا سکتا ہے

XI = سے deti / DET، (2).

اس صورت میں، صفر سے سختی سے مختلف DET.

نظام کی حل کی انفرادیت یہ مشترکہ طور پر صفر کے نظام کا اہم عنصر کی عدم مساوات کی حالت کی طرف سے فراہم کی جاتی ہے جب. دوسری صورت میں، (XI) کی رقم، مربع، اگر سختی مثبت، تو SLAE ایک مربع میٹرکس infeasible ہے. یہ سے deti nonzero کی جب کم از کم ایک خاص طور پر ہو سکتا ہے.

مثال 1. Cramer کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے تین جہتی LAU کے نظام کو حل کرنے کے لئے.
2 X1 + X2 + X3 = 31 4،
5 X1 + X2 + X3 = 2 29
3 X1 - X2 + X3 = 10.

فیصلہ. ہے میٹرکس کی میں ویں صف - ہم لائن کی طرف سے نظام لائن، جہاں عی کے میٹرکس لکھ.
A1 = (1 2 4)، A2 = (5 1 2)، A3 = (3 -1، 1).
کالم مفت coefficients کے ب = (31 اکتوبر 29).

مرکزی نظام کے عنصر DET ہے
DET = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

A11 = B1، A21 = B2، A31 = B3 استعمال کرتے ہوئے det1 کی Permutation شمار کرنے کے لیے. پھر
det1 = B1 A22 A33 + A12 A23 B3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 B2 A12 = ... = -81.

اسی طرح، اس کے مطابق det2 استعمال متبادل A12 = B1، A22 = B2، A32 = B3 کی گنتی کرنے، اور،، det3 حساب کرنے کے لئے - A13 = B1، A23 = B2، A33 = B3.
135 - پھر اس det2 = -108، اور det3 = چیک کر سکتے ہیں.
فارمولوں کے مطابق Cramer مل X1 = -81 / (- 27) = 3، X2 = -108 / (- 27) = 4، X3 = -135 / (- 27) = 5.

جواب: ایکس ° = (3،4،5).

اس اصول کا اطلاق پر انحصار، کریمر کو حل لکیری مساوات کے نظام کے طریقہ بالواسطہ طور پر، مثال کے طور پر، ایک پیرامیٹر K کی قدر کے لحاظ سے حل کی ممکنہ تعداد پر نظام کی تحقیقات کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے.

+ | | ایکس + KY + 4 | <= 0 بالکل ایک ہی حل ہے - - Y 4 KX | مثال 2. پیرامیٹر K عدم مساوات کے کس اقدار پر اس بات کا تعین کرنے کے لئے.

فیصلہ.
یہ عدم مساوات، ماڈیول تقریب کی تعریف کی طرف سے صرف کارکردگی کا مظاہرہ کیا جا سکتا ہے اگر دونوں اظہارات بیک وقت صفر ہیں. لہذا، اس مسئلہ لکیری الجبری مساوات کے حل تلاش کرنے کے لئے کم ہے

KX - Y = 4،
X + KY = -4.

اس نظام کا حل اس میں سے اہم عنصر یہ ہے صرف اس صورت میں
DET = K ^ {2} + 1 nonzero ہے. یہ اس حالت پیرامیٹر K کی تمام حقیقی اقدار کے لئے مطمئن ہے کہ واضح ہے.

جواب: پیرامیٹر K کی تمام حقیقی اقدار کے لئے.

اس قسم کے مقاصد بھی کے میدان میں بہت سے عملی مسائل کو کم کیا جا سکتا ہے ریاضی، فزکس یا کیمسٹری.