ایک مثلث کے زاویہ کی رقم. ایک مثلث کے زاویہ کی رقم پر اثباتی

مثلث کے تین اطراف (تین زاویے) رکھنے والے ایک کثیرالاضلاع ہے. اکثر، حصہ دارالحکومت خط، مخالف vertices کے نمائندگی کرتے ہیں جو اسی چھوٹے حروف کی طرف سے denoted. اس مضمون میں ہم نے کیا ایک مثلث کے زاویہ کی رقم کے برابر ہے کی وضاحت کرتا ہے جس ہندسی شکلیں، قضیہ، کی ان اقسام پر ایک نظر ڈالیں.

اقسام سے بڑا زاویہ

تین vertices کے ساتھ کثیرالاضلاع کی درج ذیل اقسام:

• ایکیوٹ-زاویہ جس میں تمام کونوں تیز ہیں؛
• آئتاکار ایک صحیح زاویہ ہونے، ضمنی جو قیام، ٹانگوں پر کہا جاتا ہے، اور ضمنی دائیں زاویہ کے برعکس نمٹا جاتا ہے کہ وتر (hypotenuse) کہا جاتا ہے؛
• بے نوک جب ایک زاویہ بے نوک ہے ؛
• مساوی الساقین، جن کے دونوں اطراف برابر ہیں، اور وہ پس منظر کو کہا جاتا ہے، اور تیسری - ایک بنیاد کے ساتھ ایک مثلث؛
• equilateral تین برابر اطراف تعلق.

خواص

بنیادی خصوصیات مثلث میں سے ہر ایک قسم کی خصوصیت ہیں کہ مختص:

• مخالف کی سب سے بڑی پارٹی کی طرف سے ہمیشہ زیادہ سے زیادہ زاویہ، اور اس کے برعکس ہے؛
• برابر سب سے بڑی پارٹی مخالف برابر زاویہ، اور اس کے برعکس ہیں.
• کوئی بھی مثلث میں دو شدید زاویہ ہے؛
• کسی بھی اندرونی زاویہ ملحقہ نہ اس پر اس سے بڑا بیرونی زاویہ؛
• کسی بھی دو زاویوں کا مجموعہ ہمیشہ 180 ڈگری سے کم ہے؛
• بیرونی زاویہ دیگر دو کونوں، اس کے ساتھ mezhuyut نہیں کر رہے ہیں جس کی رقم کے برابر ہے.

ایک مثلث کے زاویہ کی رقم پر اثباتی

پرمیئ ہے کہ آپ اقلیدسی طیارے میں واقع ہے جس ہندسی شکل، کے کونے کونے تک شامل ہیں، تو ان کی رقم 180 ڈگری ہو جائے گا ریاستوں. چلو اس قضیہ کو ثابت کرنے کی کوشش کرتے ہیں.

ہم اقمات KMN ساتھ ایک صوابدیدی مثلث کرتے ہیں. پار M کے سب چیت کریں گے لائن پر ایک براہ راست متوازی KN (یہاں تک کہ اس لائن اقلیدس کہا جاتا ہے). تاکہ پوائنٹس K اور ایک لائن MN کی مختلف اطراف سے اہتمام کر رہے ہیں اس نقطہ A غور کرنا چاہیے. ہم AMS اور MUF، کے اسی زاویہ، جس میں داخلہ کی طرح، براہ راست CN اور ایم اے، متوازی ہیں جس کے ساتھ مل کر میں MN قطع کی تشکیل کرنے میں crosswise جھوٹ ملتا ہے. اس سے یہ مندرجہ ذیل ایم اور ن کی vertices پر واقع مثلث، کا زاویہ کی رقم CMA زاویہ کے سائز کے برابر ہے. تینوں زاویوں KMA اور MCS کا زاویہ کی رقم کے برابر رقم پر مشتمل ہوتے ہیں. اعداد و شمار کو قطع کرنے میں اندرونی زاویہ رشتہ دار رخا متوازی لائنوں CL اور وزیراعلی ایم اے ہیں، ان کی رقم کے 180 ڈگری ہے. یہ قضیہ ثابت ہوتا ہے.

نتیجہ

مندرجہ بالا قضیہ مذکورہ بالا میں سے مندرجہ ذیل فرع ٹھرا: ہر مثلث دو شدید زاویہ ہے. اس کو ثابت کرنے کے لئے، ہم سے یہ فرض اس ستادوستیی شخصیت کو صرف ایک شدید زاویہ ہے کہ دو. آپ یہ بھی فرض کر سکتے کونوں میں سے کوئی بھی تیز نہیں ہیں. اس صورت میں یہ ہے جس کی شدت کے برابر یا 90 ڈگری سے زیادہ ہے کم از کم دو زاویے، ہونا ضروری ہے. لیکن پھر زاویوں کا مجموعہ 180 ڈگری سے زیادہ ہے. کوئی زیادہ، کم نہیں - لیکن یہ ایک مثلث کی پرمیئ رقم زاویہ کے مطابق 180 ° کے برابر ہے، جیسا نہیں ہو سکتا. یہ ثابت ہو جائے کرنے کے لئے تھا کیا ہے.

پراپرٹی کے باہر کونوں

خارجی ہیں جو ایک مثلث کے زاویہ، کی رقم کیا ہے؟ اس سوال کا جواب دو طریقوں میں سے ایک کا اطلاق کی طرف سے حاصل کیا جا سکتا. سب سے پہلے آپ کے زاویہ، جس میں ہر ایک راس میں ایک لے لیا ہے کہ، تین زاویے رہے ہیں کی رقم تلاش کرنے کی ضرورت ہے. دوسرا آپ اقمات میں چھ زاویہ کی رقم تلاش کرنے کی ضرورت ہے کہ مطلب. پہلے اوتار کے آغاز کے ساتھ نمٹنے کے لئے. دو میں سے ہر ایک کے سب سے اوپر - اس طرح، مثلث چھ بیرونی کونوں پر مشتمل ہے. ہر جوڑے، آپس میں برابر زاویہ ہے وہ عمودی ہیں کے بعد:

∟1 = ∟4، ∟2 = ∟5، ∟3 = ∟6.

اصل میں، یہ جانا جاتا ہے ایک مثلث کے بیرونی کونے دو داخلہ، جس میں اس کے ساتھ mezhuyutsya نہیں ہیں کی رقم کے برابر ہے. اس وجہ سے،

∟1 = ∟A + ∟S، ∟2 = ∟A + ∟V، ∟3 = ∟V + ∟S.

اس سے یہ بیرونی زاویہ، جس میں ہر ایک راس کے قریب ایک ایک کرکے لے جایا جاتا ہے کی رقم کے برابر ہو جائے گا کہ ظاہر ہوتا ہے:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 X (∟A + ∟V ∟S +).

حقیقت یہ ہے کہ زاویہ کی رقم 180 ڈگری کے برابر ہے اس کو دیکھتے ہوئے، یہ کہا جا سکتا ہے کہ ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. اس کا مطلب ہے کہ ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 ایکس 180 ° = 360 °. دوسرا آپشن استعمال کیا جاتا ہے تو، چھ زاویوں کا مجموعہ دو مرتبہ اسی زیادہ ہو جائے گا. ایک مثلث کے زاویہ کی رقم یعنی باہر ہو جائے گا:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 X (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

حق مثلث

کیا ایک حق مثلث کے زاویہ کی رقم کے برابر ہے، جزیرہ ہے؟ جواب ایک مثلث کے زاویہ 180 ڈگری کو شامل ہے کہ جس کلیہ، سے، ایک بار پھر، ہے. ایک آواز ہمارے دعوے (جائیداد) مندرجہ ذیل: ایک حق مثلث تیز زاویہ 90 ڈگری تک شامل ہیں. ہم اس کی صداقت کو ثابت. وہاں دو ہونا دی مثلث KMN، جس ∟N = 90 °. یہ کہ ∟K ∟M = + 90 ° ثابت کرنا ضروری ہے.

اس طرح، زاویے ∟K + ∟M ∟N + = 180 ° کی رقم پر اثباتی کے مطابق. اس حالت میں یہ کہا ∟N 90 ° = کہ کیا جاتا ہے. اس ∟K ∟M + + 90 ° = 180 ° باہر کر دیتا ہے. 90 ° = 90 ° - وہ ∟K ∟M + = 180 ° ہے. یہی ہم کو ثابت کرنے کے لئے چاہئے ہے.

ایک حق مثلث کی مندرجہ بالا خصوصیات کے علاوہ میں، آپ کو ان کے شامل کر سکتے ہیں:

• زاویہ ٹانگوں کے خلاف جھوٹ جو تیز ہیں؛
• ٹانگوں میں سے کسی سے بھی بڑا سہ رخی کے وتر (hypotenuse)؛
• وتر (hypotenuse) سے زیادہ ٹانگوں کا مجموعہ؛
• مثلث کی ٹانگ، 30 ڈگری کے زاویہ کے مقابل جھوٹ ہے، جو وتر (hypotenuse) کی نصف، کہ اس کے نصف کے برابر ہے.

ہندسی شکل کی ایک اور جائیداد کے طور پر فیثا غورث پہچانا جا سکتا ہے. وہ 90 ڈگری (آئتاکار) کے زاویہ کے ساتھ ایک مثلث میں ٹانگوں کے مربعوں کا میزان وتر (hypotenuse) کے مربع کے برابر ہے اس کی دلیل.

ایک مساوی الساقین مثلث کے زاویہ کی رقم

اس سے قبل ہم نے کہا کہ ایک مساوی الساقین مثلث تین vertices کے ساتھ ایک کثیرالاضلاع، دو برابر اطراف پر مشتمل ہے. اس کی خاصیت ستادوستیی شخصیت جانا جاتا ہے: اس کی بنیاد پر زاویے برابر. ہمیں اس کو ثابت کرتے ہیں.

اس کی بنیاد - مثلث KMN، مساوی الساقین، سپریم کورٹ ہے جس کو لے لو. ہمیں امید ہے کہ ∟K = ∟N ثابت کرنے کی ضرورت ہے. تو، ہم سے کہ MA فرض کرتے ہیں - KMN ہماری مثلث کی دوئباجک ہے. مساوات کی پہلی علامت کے ساتھ آایسیی مثلث مثلث رکن قومی اسمبلی ہیں. یعنی، دیا پرختیارپنا کی طرف سے وزیراعلی = NM، MA، ایک عام کی طرف جاتا ہے کہ ∟1 = ∟2 کیونکہ MA - اس دوئباجک. دو ترکون کی مساوات کو استعمال کرتے ہوئے، ایک بحث کر سکتے ہیں کہ ∟K = ∟N. لہذا، قضیہ ثابت ہو گیا ہے.

لیکن ہم میں دلچسپی رکھتے ہیں، ایک مثلث (مساوی الساقین) کے زاویہ کی رقم کیا ہے. اس سلسلے میں جو اس کی خصوصیات کی ضرورت نہیں ہے، کیونکہ ہم پہلے بحث قضیہ سے شروع کریں گے. یہی ہے جو ہم کہہ سکتے ہیں، یہ ہے کہ ∟K + ∟M ∟N + = 180 °، یا 2 ایکس ∟K ∟M + = 180 ° (ع ∟K = ∟N). ایک مثلث کے زاویہ کی رقم پر اثباتی کے شروع میں ثابت کیا گیا تھا کے طور پر یہ جائیداد ثابت نہیں ہوں گے.

ایک مثلث کے کونوں کے سمجھا خواص علاوہ، اس طرح کے اہم بیانات بھی موجود ہیں:

• میں ایک equilateral مثلث اونچائی، جس کی بنیاد پر کم کیا گیا تھا، بیک وقت برابر اطراف اور دونوں کے درمیان ہے جس زاویہ کی میڈین دوئباجک ہے توازن کا محور اس کی بنیاد کے؛
• میڈین (دوئباجک، اونچائی)، جس میں ایک ہندسی اعداد و شمار کے اطراف پر منعقد کی جاتی ہیں، برابر ہیں.

equilateral مثلث

یہ بھی صحیح کہا جاتا ہے، تمام جماعتوں کے برابر ہیں جو مثلث، ہے. اور اس لئے بھی برابر اور زاویہ. ان میں سے ہر 60 ڈگری ہے. ہمیں اس جائیداد کو ثابت کرتے ہیں.

ہمیں یہ فرض ہم ایک مثلث KMN ہے کہ دو. کہ KM = HM = KH ہم جانتے ہیں. یہ مطلب ہے کہ، ایک equilateral مثلث ∟K = ∟M = ∟N میں بیس پر واقع زاویہ کی جائیداد کے مطابق. ایک مثلث قضیہ ∟K + ∟M ∟N کا زاویہ کی رقم کے مطابق، چونکہ + = 180 °، پھر ایکس 3 = 180 ° ∟K یا ∟K = 60 °، ∟M = 60 °، ∟N = 60 °. اس طرح، اس دعوے کو ثابت کر دیا جاتا ہے. مندرجہ بالا قضیہ پر مبنی مندرجہ بالا ثبوت سے دیکھا کے طور پر، زاویہ کی رقم ایک equilateral مثلث کے، کسی دوسرے مثلث کے زاویہ کی رقم کے طور پر 180 ڈگری ہے. پھر اس قضیہ کو ثابت کرنے کے لئے ضروری نہیں ہے.

ایک equilateral مثلث کی خصوصیت کچھ خواص اب بھی موجود ہیں:

• ایک ستادوستیی اعداد و شمار میں میڈین دوئباجک اونچائی ایک جیسی ہے، اور ان کی لمبائی (ایک ایکس √3) کے طور پر شمار کیا جاتا ہے: 2؛
• اس کثیرالاضلاع دائرے circumscribing، تو پھر رداس (ایک ایکس √3) کے برابر ہو جائے گا: 3؛
• ایک دائرے equilateral مثلث میں لکھا ہے تو، اس کے رداس (ایک ایکس √3) ہو گی: 6؛
• (A2 X √3): ہندسی اعداد و شمار کے علاقے فارمولے کی طرف سے شمار کیا جاتا ہے 4.

بے نوک مثلث

تعریف کی طرف سے، ایک بے نوک-زاویہ مثلث، اس کے کونوں میں سے ایک میں 90 سے 180 ڈگری کے درمیان ہے. لیکن حقیقت یہ ہے کہ تیز ہندسی شکل کے دیگر دو زاویے، یہ وہ 90 ڈگری سے تجاوز نہیں کرتے کہ یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دی. لہذا، ایک مثلث قضیہ کا زاویہ کی رقم ایک بے نوک مثلث میں زاویہ کی رقم کا حساب لگانے میں کام کرتا ہے. لہذا، ہم محفوظ طریقے سے اوپر کے قضیہ ایک مثلث کی بے نوک زاویہ کی رقم 180 ڈگری ہے کہ بنیاد پر، کا کہنا ہے کہ کر سکتے ہیں. ایک بار پھر، اس قضیہ کو دوبارہ ثبوت کی ضرورت نہیں ہے.