ریاضیاتی پنڈول: مدت، تیز رفتار اور فارمولہ

ایک میکانی نظام جس پر مشتمل ایک مادہ نقطہ (جسم) پر مشتمل ہے جس میں ایک غیر معمولی وزن والا دھاگہ (اس کے بڑے پیمانے پر جسم کے وزن کے مقابلے میں غیر معمولی طور پر چھوٹا ہوتا ہے) پر پھانسی ہوتا ہے. ایک یونیفارم گرویاتی میدان میں ایک ریاضیاتی پینڈول (دوسرا نام ایک آلودگی والا ہے) کہا جاتا ہے. اس آلہ کی دوسری اقسام ہیں. ایک دھاگے کے بجائے، وزن والا چھڑی کا استعمال کیا جا سکتا ہے. ریاضی کے پنڈلم کو بہت سے دلچسپ رجحان کا جزو نظر انداز کر سکتا ہے. کمپن کا ایک چھوٹا سا طول و عرض کے ساتھ، اس کی تحریک کو ہولوکونی کہا جاتا ہے.

میکانی نظام کے بارے میں عام معلومات

اس پینڈول کے تسلسل دور کے لئے فارمولہ ڈچ سائنسدان ہیوسن (1629-1695) کی طرف سے حاصل کیا گیا تھا. یہ عصر حاضر. نیوٹن اس میکانی نظام کا بہت شوق تھا. 1656 میں، انہوں نے پہلی گھڑی کو ایک پنڈلم میکانزم کے ساتھ بنایا. انہوں نے اس درستگی کے ساتھ وقت کا اندازہ کیا جو ان دوروں کے لئے غیر معمولی تھا. یہ ایجاد جسمانی تجربات اور عملی سرگرمیوں کی ترقی میں ایک اہم مرحلے بن گیا ہے.

اگر پنڈول مسابقتی پوزیشن میں ہے (عمودی طور پر پھانسی)، تو کشش ثقل کی قوت دھاگے کے کشیدگی سے متوازن ہوگی. ایک پسماندہ موضوع پر ایک فلیٹ پینڈول ایک دوپہر کے ساتھ ایک نظام ہے جو ایک جوڑے کے ساتھ. صرف ایک جزو کو تبدیل کرنے کے بعد، اس کے تمام حصوں کی خصوصیات تبدیل ہوجاتی ہیں. لہذا اگر دھاگے کو ایک چھڑی سے تبدیل کیا جائے تو پھر یہ میکانی نظام صرف 1 ڈگری کی آزادی ہوگی. ریاضیاتی پنسل کی خصوصیات کیا ہیں؟ اس سب سے آسان نظام میں، افراتفری دورانی مشق کے اثرات کے تحت پیدا ہوتا ہے. اس صورت میں جب معطل کرنے کے نقطہ نظر کو منتقل نہیں ہوتا ہے لیکن اس پر نظر انداز نہیں ہوتا ہے تو، ایک نیا مساوات کی حیثیت پینڈول میں ظاہر ہوتی ہے. اس میکانی نظام کو تیز اور نیچے تیز رفتار کے ساتھ ایک مستحکم حیثیت "اوپر نیچے" حاصل ہے. اس کا اپنا نام ہے. اسے کپتزا کے پنڈول کہا جاتا ہے.

پنسل کی خصوصیات

ریاضیاتی پنڈول بہت دلچسپ خصوصیات ہیں. ان سب کو معزز جسمانی قوانین کی طرف سے تصدیق کی جاتی ہے. کسی دوسرے پینڈلم کی تسلسل کی مدت مختلف حالتوں پر منحصر ہے، جیسے جسم کے سائز اور شکل، معطلی کے نقطہ کے درمیان فاصلہ اور کشش ثقل کے مرکز، ایک مخصوص نقطہ پر بڑے پیمانے پر رشتہ دار کی تقسیم. اس وجہ سے پھانسی کے جسم کی مدت کا تعین ایک چیلنج ہے. ریاضیاتی پنسل کی مدت کا حساب کرنا آسان ہے، جس کا فارمولہ ذیل میں دیا جائے گا. اسی طرح کے میکانی نظام پر مشاہدوں کے نتیجے میں، کسی ایسے باقاعدگی سے قائم کرسکتا ہے:

• اگر پینڈلم کی ایک ہی لمبائی کو برقرار رکھنا، مختلف بوجھ کو معطل کرنا، تو ان کے عہدوں کی مدت اسی طرح ہوگی، اگرچہ ان کی عوام بہت مختلف ہوگی. اس کے نتیجے میں، اس طرح کے پنڈول کی مدت کارگو کے بڑے پیمانے پر منحصر نہیں ہے.

• اگر، نظام کے آغاز میں، پنڈول بہت بڑا نہیں ہے، لیکن مختلف زاویے کی طرف سے مسترد کر دیا جاتا ہے، یہ ایک ہی مدت کے ساتھ، لیکن مختلف amplitudes میں oscillate گا. جبکہ مساوات کے مرکز سے وابستہ بہت اچھے نہیں ہیں، ان کی شکل میں اتار چڑھاؤ کو ہارمونک کے قریب قریب رکھا جائے گا. اس طرح کے پنڈول کی مدت کمپنانہ طول و عرض پر منحصر نہیں ہے. اس میکانی نظام کے اس پراپرٹی کو اسوکرونزم کہا جاتا ہے (یونانی "کرونس" - وقت، "آاسوس" - برابر) میں.

ریاضیاتی پنسل کا دورہ

یہ اشارے قدرتی آلودگی کی مدت ہے. پیچیدہ تشکیل کے باوجود، عمل خود کو بہت آسان ہے. اگر ریاضیاتی پینڈول ایل کی ایک تار کی لمبائی، اور کشش ثقل کی تیز رفتار، پھر اس کی قیمت برابر ہے:

T = 2π√L / g

چھوٹے قدرتی آلودگیوں کی مدت پینڈول کے بڑے پیمانے پر اور عصبیت کے طول و عرض پر کسی بھی پیمانے پر انحصار نہیں کرتا. اس صورت میں، پینڈول کو دی گئی لمبائی کے ساتھ ریاضیاتی پینڈلم کے طور پر چلتا ہے.

ایک ریاضیاتی پینڈلم کا انفیکشن

ایک ریاضیاتی پنڈول oscillates، جو ایک سادہ فرق مساوات کی طرف سے بیان کیا جا سکتا ہے:

ایکس + ω2 گناہ x = 0،

کہاں ایکس (ٹی) ایک نامعلوم فعل ہے (یہ وقت میں ٹی برابر مساوات کی طرف سے انحراف زاویہ، radians میں اظہار)؛ Ω ایک مثبت تسلسل ہے، جو پینڈولم پیرامیٹرز (ω = √g / L سے طے شدہ ہے)، جہاں جی کشش ثقل کی وجہ سے تیز رفتار ہے، اور ایل پنڈم کی لمبائی ہے.

مسابقتی پوزیشن کے قریب چھوٹے تسلسلوں کی مساوات (ہونکولوک مساوات) اس طرح نظر آتے ہیں:

ایکس + ω2 گناہ x = 0

پینڈولم کی آستشیلت تحریک

ایک ریاضیاتی پنکھ، جو چھوٹے تسلسل کرتا ہے، sinusoid کے ساتھ چلتا ہے. دوسرا حکم اختیاری مساوی اس طرح کی تحریک کے تمام ضروریات اور پیرامیٹرز کو پورا کرتا ہے. پراجیکٹ کو تعین کرنے کے لئے، آپ کو رفتار کی وضاحت کرنا چاہئے اور اس سے رابطہ کرنا چاہیے، جس سے مستقل محض اس وقت طے کیے جاتے ہیں:

ایکس = ایک گناہ (θ ₀ + ωt)

جہاں θ ₀ ابتدائی مرحلے ہے، A تسلسل کے طول و عرض ہے، ω تحریک کی مساوات سے طے شدہ چاکلیٹ فریکوئنسی ہے.

ریاضیاتی پنڈول (بڑے املاک کے لئے فارمولہ)

یہ میکانی نظام، جو ایک اہم طول و عرض کے ساتھ گزرتا ہے، تحریک کے زیادہ پیچیدہ قوانین کا اطاعت کرتا ہے. اس طرح کے پنسل کے لئے، وہ فارمولہ کی طرف سے شمار کیا جاتا ہے:

گناہ x / 2 = u * sn (ωt / u)،

جہاں سپا یعقوبی کی سنت ہے، جس کے لئے آپ <1 ایک وقفے کی تقریب ہے، اور آپ کے لئے یہ ایک سادہ trigonometric سنک کے ساتھ شامل ہے. آپ کی قیمت درج ذیل اظہار کی طرف سے طے کی جاتی ہے:

U = (ε + ω2) / 2ω2،

جہاں ε = ای / ایم ایل 2 (ایم ایل 2 پنسلول کی توانائی ہے).

غیر لائنار پنڈول کی عکاسی کی مدت فارمولا کی طرف سے طے کی جاتی ہے:

T = 2π / Ω،

کہاں Ω = π / 2 * ω / 2K (یو)، K ایک یلڈیڈک لازمی ہے، اور π 3.14 ہے.

علیحدگی پسندوں کے ساتھ پنسلول کی تحریک

ایک علیحدگی پسند دو جہتی مرحلے کی جگہ کے ساتھ ایک متحرک نظام کا سراغ لگانا ہے. ریاضیاتی پینڈلم اس کے ساتھ غیر متوقع طور پر چلتا ہے. وقت میں ایک غیر معمولی فاصلے پر، وہ صفر کی رفتار میں انتہائی اوپری پوزیشن سے گر جاتا ہے، پھر آہستہ آہستہ اسے اٹھا لیتا ہے. بالآخر، یہ روکتا ہے، اس کی اصل پوزیشن میں واپس.

اگر پینڈلم کے آلودگی کے طول و عرض میں π نقطہ نظر آتا ہے تو اس سے یہ پتہ چلتا ہے کہ مرحلے کے طیارے پر حرکت علیحدگی سے متفق ہے. اس معاملے میں، ایک چھوٹے سے مجبور دورانیہ طاقت کے اثرات کے تحت، میکانی نظام کو غیر معمولی رویے کی نمائش.

جب ریاضی پینڈلم کسی زاویہ φ کے ساتھ مسابقتی پوزیشن سے الگ ہوتا ہے تو، ایک گروہاتی ٹینٹنٹ Fτ = -GG گناہ φ پیدا ہوتا ہے. معدنی دستخط کا مطلب یہ ہے کہ یہ ٹھوس عنصر پینڈلم کے انحراف سے مخالف سمت میں ہدایت کی جاتی ہے. اگر ہم ریڈس ایل کے ساتھ ایک دائرے کے آرک کے ساتھ ایکس کے ذریعے پینڈول کے بے گھر ہونے سے انکار کرتے ہیں تو، اس کی کوریج کی بے گھرانہ φ = x / L کے برابر ہے. اسحاق نیوٹن کا دوسرا قانون ، تیز رفتار اور طاقت کے ویکٹر کے تخمینہ کے لئے ارادہ کیا جائے گا، مطلوبہ قیمت دے گا:

Mg τ = Fτ = -GG گناہ ایکس / ایل

اس سلسلے سے آگے بڑھتے ہوئے، یہ واضح ہے کہ یہ پنڈول غیر لائنر نظام ہے، کیونکہ قوت جس سے اسے مساوات کی حیثیت میں واپس آنے کا ارادہ رکھتا ہے، ہمیشہ انباسب نہیں ہے کہ وہ بے گھر ہونے والے ایکس پر نہیں بلکہ گناہ X / L.

صرف جب جب ریاضی پینڈولم چھوٹے تسلسلوں کو انجام دیتے ہیں، تو یہ ایک ہنمونک آکولیٹر ہے. دوسرے الفاظ میں، یہ ایک میکانی نظام بن جاتا ہے جس میں ہونیٹو تسلسلوں کی کارکردگی کا مظاہرہ کرنا. یہ سنجیدگی سے عملی طور پر 15-20 ° کی زاویہ کے لئے درست ہے. بڑی پریشانیاں کے ساتھ پنسل کی تالیفونی ہونی نہیں ہیں.

نیوٹن کا ایک پنسل کے چھوٹے تسلسلوں کے لئے قانون

اگر یہ میکانیکل نظام چھوٹے تسلسل انجام دیتا ہے، تو نیوٹن کا دوسرا قانون اس طرح نظر آئے گا:

Mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

اس سے آگے بڑھتے ہوئے، ہم یہ نتیجہ اخذ کرسکتے ہیں کہ ریاضیاتی پینڈول کے تخنیکی سرعت سے اس کی نقل و حرکت سے منسلک ہوتا ہے. یہ ایسی حالت ہے جس کے ذریعہ نظام کو ایک ہنووینک آکولیٹر بن جاتا ہے. بے ترتیب اور تیز رفتار کے درمیان تناسب کا ماڈیول سرکلر فریکوئنسی کے مربع کے برابر ہے:

Ω02 = g / L؛ Ω0 = √ g / L

یہ فارمولہ اس قسم کے پنڈول کے چھوٹے تسلسلوں کی قدرتی تعدد کو ظاہر کرتا ہے. اس سے آگے بڑھ کر،

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L

توانائی کے تحفظ کے قانون کی بنیاد پر حساب

پنڈول کی آلودگی کی حرکتوں کی خصوصیات توانائی کے تحفظ کے قانون کے ذریعہ بھی بیان کی جاسکتی ہے. یہ ذہن میں برداشت کرنا چاہئے کہ گرویاتی میدان میں پنسل کی ممکنہ توانائی کے برابر ہے:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

مجموعی میکانی توانائی کو سنت یا زیادہ سے زیادہ ممکنہ توانائی کا سامنا ہے: Epmax = Ekmsx = E

انرجی کے تحفظ کے قانون ریکارڈ ہونے کے بعد، مساوات کے دائیں اور بائیں حصوں کے متوقع لے لو:

Ep + Ek = const

چونکہ constants کے ذیابیطس 0 ہے، اس کے بعد (ایپی + ایک) = 0. رقم کا متوقع ذیابیطس کی رقم کے برابر ہے:

اے پی '= (مگ / ایل * x2 / 2)' = ایم جی / 2L * 2x * x '= ایم جی / ایل * وی + ایک' = (ایم 2/2) = ایم / 2 (v2) '= م / 2 * 2v * v '= mv * α،

لہذا:

Mg / L * xv + mva = v (mg / l * x + m α) = 0.

آخری فارمولا سے آگے بڑھتے ہوئے، ہمیں α = - g / L * x ملتا ہے.

ریاضیاتی پنسل کی عملی درخواست

مفت خزاں کی تیز رفتار جغرافیای طول و عرض کے ساتھ مختلف ہوتی ہے، کیونکہ پوری دنیا میں زمین کی کرٹ کا کثافت اسی طرح نہیں ہے. جہاں کہیں زیادہ کثافت کے ساتھ پتھر ہیں، یہ تھوڑا سا زیادہ ہوگا. ریاضیاتی پینڈول کی تیز رفتار اکثر جیوولوجی امکانات کے لئے استعمال کیا جاتا ہے. یہ مختلف معدنیات تلاش کرنے کے لئے استعمال کیا جاتا ہے. صرف پینڈلم کے تسلسلوں کی تعداد کا حساب لگانا، آپ کو کوئلے یا ایسک کی زمین کے انداز میں تلاش کر سکتے ہیں. یہ حقیقت یہ ہے کہ اس طرح کے جیواشم ان کے نیچے ڈھیلا پتھر سے زیادہ کثافت اور بڑے ہوتے ہیں.

ریاضیاتی پنڈول اس طرح کے بقایا سائنسدانوں کی طرف سے استعمال کیا گیا تھا جیسا کہ سقراط، ارسطو، افلاطون، پلاٹارچ، آرکیمیڈس. ان میں سے بہت سے خیال رکھتے ہیں کہ یہ میکانی نظام کسی شخص کی قسمت اور زندگی کو متاثر کرسکتا ہے. آرکییمڈس نے اپنی حساب میں ایک ریاضیاتی پینڈلم کا استعمال کیا. آج کل، بہت سے ماہرین اور نفسیات اس میکانی نظام کا استعمال کرتے ہیں کہ ان کی پیشن گوئی کی جائے یا لاپتہ افراد کی تلاش کریں.

مشہور فرانس کے ستاروں اور قدرتی سائنسدان K. فلامیرین نے ان کی تحقیق کے لئے ایک ریاضیاتی پینڈول بھی استعمال کیا. انہوں نے دعوی کیا کہ اس کی مدد سے انہوں نے نئے سیارے کی تلاش کی پیشکش کی، جس میں ٹونگسوکا میٹیورائٹ اور دیگر اہم واقعات موجود تھے. دوسری عالمی جنگ کے دوران، جرمنی (برلن) میں ایک خاص پنڈول انسٹی ٹیوٹ کا کام کیا. ان دنوں، پیرپسشیچولوجی کے میونخ انسٹی ٹیوٹ اسی طرح کے مطالعے میں مصروف ہیں. اس ادارے کے ملازمین نے ان کا کام پنڈول "ریڈسٹاکیا" کے ساتھ فون کیا ہے.